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Función continua y derivadas

Matemáticas

  Luis Fernando Posada Martínez

 Función continua

Sea una función f(x) en los reales. F(x) va desde los Re hasta los Re. Se dice que f(x) es una función continua en X = a, si y solo si cumple: 

Función continua  Continuidad  ¿Continua o discontinua?  Función a trozos 

Si alguna de las condiciones  anteriores NO SE CUMPLE en la definición de continuidad, se dice que la función f(x) es DISCONTINUA en X= a. A esta discontnuidad se le llama EVITABLE o removible en X = a, si y solo si:

 Continuidad en intervalos

En la continuidad en intervalos se cumple:

1.    Una función f(x) es CONTINUA en un intervalo abierto si y solo si f(x) es continua en       todo punto del intervalo abierto ( a, b ),  es decir:

2.   Una función f(x) es CONTINUA en un intervalo cerrado si y solo si f(x) es continua         en todo punto del intervalo abierto ( a, b ),  es decir:

Continuidad en un punto   Continua y/o discontinua   Continuidad (PDF)  Continuidad

 Derivadas

Para definir el concepto de DERIVADA, es importante manejar otros conceptos como: Recta tangente y secante. 

Recta Tangente

Una recta es tangente a una curva F(x) si la toca en un solo punto, es decir que  tienen un punto en común. Gráficamente sera así:

Recta Secante

Una recta es secante a una curva si la toca en dos puntos diferentes, es decir que corta a la curva F(x). Gráficamente sera así:

Derivada de una función

Sea f(x) una función real, la DERIVADA de f(X) es otra función real que se denota por f´(X) de tal manera que su valor es cualquier punto X de su DOMINIO. La derivada se pude expresar  de la forma:

Derivadas, simulación   Aplicaciones de la derivada  Derivadas, aplicaciones

Propiedades de la derivada

P1    Derivada de una función constante

        Sea f(x) una función real, con f(x) = K, K E Re y  constante. Se debe cumplir que la                        derivada de f(x) es ¨Cero¨

P2   Derivada de una potencia de X

                                                   n

     Sea f(x) una función real, con f(x) = X,     n E Re . Se debe cumpir que: 

P3   Derivada de una constante por una función

                                                     n

     Sea f(x) una función real, con f(x) = K X,     K E Re,  con K constante. 

P4   Derivada de una suma y/o resta de funciones

                                                     

     Sean f(x) y G(x) funciones reales. Sus derivadas f´(x) y G´(x) también son funciones                     reales.

P5   Derivada de un producto de funciones

                                                     

     Sean f(x) y G(x) funciones reales. Sus derivadas f´(x) y G´(x) también son funciones                     reales. 

P6   Derivada de un cociente  de funciones

                                                     

     Sean f(x) y G(x) funciones reales. Sus derivadas f´(x) y G´(x) también son funciones                     reales. 

P7   Regla de la cadena

                                                     

    Esta propiedad se aplica a funciones compuestas. Por ejemplo:  

P8   Derivadas de las funciones trigonométricas

                                                     

    a)    Derivada de la función SENO 

    b)    Derivada de la función COSENO

      C)    Derivada de la función TANGENTE

    d)    Derivada de la función COTANGENTE

    e)    Derivada de la función SECANTE

       f)    Derivada de la función COSECANTE

Derivadas de orden superior

Si f(x) es una función real, entonces su DERIVADA  f´(X) también es una función real.  si 

f´(X) es función, entonces su DERIVADA f´´(X)  también lo es. De la misma manera  si f´´(x) es función, su derivada f´´´(X) también lo es y así sucesivamente.. A estas derivadas se les llama de orden superior.

Derivación implícita 

Hasta el momento las funciones que hemos trabajado son explicitas, es decir aquellas funciones que tienen la forma Y = f(X) , donde   ¨Y¨ aparece despejada. Por ejemplo:

Aplicaciones de la derivada: Máximos y mínimos

Máximos y mínimos

Sea una función Y = f(X) en los Re, esta función tiene un MÁXIMO relativo en X = C, si existe un INTERVALO abierto ( a, b) que contiene a ¨C¨ tal que:

Sea una función Y = f(X) en los Re, esta función tiene un MÍNIMO relativo en X = C, si existe un INTERVALO abierto ( a, b) que contiene a ¨C¨ tal que:

Para hallar los posibles valores  de ¨X ¨ en un intervalo dado donde la función tenga un MÁXIMO o MÍNIMO (Extremos relativos), se aplica la siguiente propiedad:

P1    Sea una función f(X)  continua, para todos los valores de ¨X¨ en un intervalo abierto                  ( a , b ) , si hay un extremo relativo ( Máximo o mínimo) en un punto X = C, con  c E                     intervalo  ( a ,  b ), entonces:

•         f ´( c )  = 0
•         f ´ ( c )  No existe

, 

Función creciente - Decreciente

Función creciente

Sea una función f(X)  definida  en un intervalo I. Se dice que f(X)  es CRECIENTE en el intervalo I, si al aumentar los valores de ¨X¨ también aumentan los valores de f(X).

Función decreciente

Sea una función f(X)  definida  en un intervalo I. Se dice que f(X)  es DECRECIENTE en el intervalo I, si al aumentar los valores de ¨X¨ disminuyen los valores de f(X).

Para determinar si una función f(X) es CRECIENTE o DECRECIENTE, se aplica la propiedad P2

P2    Sea una función f(X)  DERIVABLE, en un intervalo abierto  ( a , b ) 

•  f ´( X )  es mayor que ¨CERO¨ Para todo X E ( a, b ).  f(X) es        CRECIENTE
•  f ´( X )  es menor que ¨CERO¨ Para todo X E ( a, b ).  f(X) es DECRECIENTE
•  f ´( X )  = 0  Para todo X E ( a, b ).  f(X) es CONSTANTE.

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