Criterio de la primera DERIVADA
Sea f(X) una función continua en el intervalo abierto ( a , b ) y que ¨C¨ es el punto ( Valor crítico) donde hay un MÁXIMO o un MÍNIMO.
- f(X) tiene un MÁXIMO relativo en X = C, sí antes de ¨C¨ la función CRECE y después de ¨C¨ la función DECRECE, es decir que f´(X) pasa de ser POSITIVA a NEGATIVA.
- Decimos que f(X) tiene un MÍNIMO relativo en en X = C, sí antes de ¨C¨ la función DECRECE y después de ¨C¨ la función CRECE, es decir que f´(X) pasa de ser NEGATIVA a POSITIVA.
La concavidad de una función se utiliza para determinar donde la curva de f(X) se dirige hacia arriba o hacia abajo. La concavidad tiene que ver con el comportamiento de la CURVA cuando se trazan rectas TANGENTES a ella.
Un punto de inflexión es aquel donde la curva hace una especie de Zip-zap, es decir que no tiene ni máximos ni mínimos, en otras palabras su derivada es cero (recta tangente es horizontal).
1. Si la segunda derivada f¨(X) es mayor que ¨Cero¨en el intervalo abierto (a , b) para todo X E ( a, b ), la curva f(X) es cóncava hacia arriba.
2. Si la segunda derivada f¨(X) es menor que ¨Cero¨en el intervalo abierto (a , b) para todo X E ( a, b ), la curva f(X) es cóncava hacia abajo.
3. El punto de inflexión P. I. ( C, f(C) ) se da en f¨(X) = 0. En este punto la curva cambia de concavidad, la f¨(X) cambia de signo.
Supongamos que ¨C¨es un valor crítico de la función f(X), entonces:
1. Si f¨(X) ó f¨(C) es mayor que ¨cero¨, entonces f(X) tiene un MÍNIMO en X=C
2. Si f¨(X) ó f¨(C) es menor que ¨cero¨, entonces f(X) tiene un MÁXIMO en X=C
Problemas de máximos y/o mínimos
Para resolver un problema de máximos y/o mínimos se hace lo siguiente:
1. Se hace una gráfica del problema.
2. Se determinan las variables o cantidades mencionadas.
3. Se identifica la cantidad que se va a MAXIMIZAR o MINIMIZAR, expresándola en términos de las variables anteriores.
4. Se lleva la cantidad a MAXIMIZAR o MINIMIZAR en términos de una sola variable.
5. Se haya la DERIVADA de la función, calculando valores críticos.
6. Se determinan MÁXIMOS o MÍNIMOS, aplicando el criterio de la segunda derivada.
Aprovechando todas las herramientas que nos traen las TIC, y los recursos didácticos en el proceso ENSEÑANZA APRENDIZAJE de la matemática, en las siguientes direcciones electrónicas podemos encontrar lecturas complementarias y una serie de animaciones que nos ayudarán a una mejor comprensión de todo lo relacionando con los matemática y la naturaleza.
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